Dans quel cas une fonction admet-elle un minimum ?

Soit f une fonction continue sur un intervalle I[a;b] de R, elle admet un minimum ssi : il existe une valeur et une seule m de I tel que f'(m) = 0 (La tangente à la courbe en M (m, f(m)) est alors horizontale). Remarque: On peut séparer I en différents intervalles ne contenant qu'une seule valeur f'(x) =0. On continue l'étude sur chaque intervalle. On peut déterminer si c'est un minimum de différentes manières. * si f(m) < f(a) et f( m) < f(b) alors c'est un minimum. * si il existe c appartenant à I tel que f(c) < f(m) : M n'est pas un minimum * Si il n'existe pas de valeur c de I tel que f(c) < f(m) alors M est un minimum. * Si la fonction f'(x) est continue sur I, on calcule f''(x) . Si f''(x) est positive sur I (f a une concavité positive sur I) alors M (m; f(m)) est un minimum . exemple ; f(x )= x^2 ; f'(x) = 2 x pour x= 0 f'(0) =0 ; f''(x) =2; le point O (0;0) est un minimum de f sur R autre méthode : f(x)< 0 n'admet pas de solution . Un nombre au carré ne peut pas être négatif.